図において、$AB$は円の直径である。点Aと点Bからそれぞれ弦が引かれ、点Cで交わっている。弦$AP$と$BP$が引かれ、$\angle APB = x$である。$\angle PAB = \angle PAC$、$\angle PBA = \angle PBC$のとき、$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

図において、$AB$は円の直径である。点Aと点Bからそれぞれ弦が引かれ、点Cで交わっている。弦$AP$と$BP$が引かれ、$\angle APB = x$である。$\angle PAB = \angle PAC$、$\angle PBA = \angle PBC$のとき、$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$AB$が直径であることから、円周角の定理より$\angle ACB = 90^\circ$である。

$\angle CAB = a$、$\angle CBA = b$とおくと、$a+b+90^\circ=180^\circ$より、

$a + b = 90^\circ$

また、$\angle PAB = \angle PAC = a/2$、$\angle PBA = \angle PBC = b/2$となる。

三角形$PAB$において、内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle PAB + \angle PBA + \angle APB = 180^\circ$

$a/2 + b/2 + x = 180^\circ$

$(a+b)/2 + x = 180^\circ$

$90^\circ/2 + x = 180^\circ$

$45^\circ + x = 180^\circ$

$x = 180^\circ - 45^\circ$

$x = 135^\circ$

3. 最終的な答え

$x = 135^\circ$