与えられた行列 $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、逆行列が存在するかどうかを判定し、もし存在する場合は逆行列を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、逆行列が存在するかどうかを判定し、もし存在する場合は逆行列を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列を $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ とします。

行列 $A$ の逆行列が存在するための条件は、行列式 $\det(A)$ が 0 でないことです。

行列式 $\det(A)$ を計算します。

$\det(A) = (2 \times 2) - (5 \times 1) = 4 - 5 = -1$

$\det(A) = -1 \neq 0$ であるため、逆行列は存在します。

次に、逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

ここで、$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ です。

$A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ なので、$a = 2, b = 5, c = 1, d = 2$ です。

$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

逆行列は存在します。

逆行列は $\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ です。