すべての正の実数 $x, y$ に対して、不等式 $\sqrt{x} + \sqrt{y} \le k\sqrt{2x+y}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

すべての正の実数 $x, y$ に対して、不等式 $\sqrt{x} + \sqrt{y} \le k\sqrt{2x+y}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺を2乗します。

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \le (k\sqrt{2x+y})^2$

$x + 2\sqrt{xy} + y \le k^2(2x+y)$

次に、$x$ で割って、$t = \frac{y}{x}$ と置きます。

$1 + 2\sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x} \le k^2(2 + \frac{y}{x})$

$1 + 2\sqrt{t} + t \le k^2(2 + t)$

$k^2 \ge \frac{1+2\sqrt{t}+t}{2+t} = \frac{(\sqrt{t}+1)^2}{t+2}$

$f(t) = \frac{(\sqrt{t}+1)^2}{t+2}$とおくと、すべての正の実数 $t$ に対して、$k^2 \ge f(t)$ となるような $k^2$ の最小値を求める問題になります。

$f'(t) = \frac{2(\sqrt{t}+1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}}(t+2) - (\sqrt{t}+1)^2 \cdot 1}{(t+2)^2}$

$= \frac{(\sqrt{t}+1)}{(\sqrt{t})(t+2)^2} [(t+2) - \sqrt{t}(\sqrt{t}+1)]$

$= \frac{(\sqrt{t}+1)}{(\sqrt{t})(t+2)^2} [t+2 - t - \sqrt{t}]$

$= \frac{(\sqrt{t}+1)}{(\sqrt{t})(t+2)^2} (2 - \sqrt{t})$

$f'(t) = 0$ となるのは $\sqrt{t} = 2$ のとき。すなわち $t = 4$ のときです。

$0 < t < 4$ のとき $f'(t) > 0$ であり、$t > 4$ のとき $f'(t) < 0$ なので、$t=4$ で極大値（かつ最大値）を取ります。

$f(4) = \frac{(\sqrt{4}+1)^2}{4+2} = \frac{(2+1)^2}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

したがって、$k^2 \ge \frac{3}{2}$ となり、$k \ge \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$k$ の最小値は $\frac{\sqrt{6}}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6}}{2}$