男子2人と女子4人がいる。以下の確率を求めよ。 (1) 6人が1列に並ぶとき、男子2人が隣り合う確率 (2) 6人が手をつないで輪を作るとき、男子2人が向かい合う確率

1. 問題の内容

男子2人と女子4人がいる。以下の確率を求めよ。

(1) 6人が1列に並ぶとき、男子2人が隣り合う確率

(2) 6人が手をつないで輪を作るとき、男子2人が向かい合う確率

2. 解き方の手順

(1) 6人が1列に並ぶとき、男子2人が隣り合う確率

まず、6人が1列に並ぶ場合の総数を求める。これは6人の順列なので、 $6!$ 通り。

次に、男子2人が隣り合う場合を考える。男子2人をひとまとめにして1つの塊と考えると、全体で5つのものを並べることになる。この並べ方は $5!$ 通り。さらに、男子2人の並び方も考慮する必要があり、これは $2!$ 通り。

したがって、男子2人が隣り合う並び方は $5! \times 2!$ 通り。

求める確率は、

$$\frac{5! \times 2!}{6!} = \frac{5! \times 2}{6 \times 5!} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

(2) 6人が手をつないで輪を作るとき、男子2人が向かい合う確率

6人が輪になる並び方は $(6-1)! = 5!$ 通り。

男子2人が向かい合うように並ぶとき、まず男子1人を固定する。向かい合う位置は1つに決まるので、もう1人の男子の位置も決まる。残りの4つの席に女子4人が並ぶ方法は $4!$ 通り。

したがって、男子2人が向かい合う並び方は $4!$ 通り。

求める確率は、

$$\frac{4!}{5!} = \frac{4!}{5 \times 4!} = \frac{1}{5}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{1}{5}$