直角三角形ABCにおいて、$\angle BAC = \theta$, $AB = a$, $BC = 1$, $CH = 2$とする。 (1) $a\cos\theta$, $a\sin\theta$, $a\tan\theta$, $a\sin^2\theta$, $a\sin\theta\tan\theta$, $a\sin\theta\cos\theta$から適切なものを選ぶ問題があるが、それらはここでは扱わない。 (2) $\tan\theta = \frac{1}{3}$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) のとき、$\cos\theta$ と $\sin\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$\angle BAC = \theta$, $AB = a$, $BC = 1$, $CH = 2$とする。

(1) $a\cos\theta$, $a\sin\theta$, $a\tan\theta$, $a\sin^2\theta$, $a\sin\theta\tan\theta$, $a\sin\theta\cos\theta$から適切なものを選ぶ問題があるが、それらはここでは扱わない。

(2) $\tan\theta = \frac{1}{3}$ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$) のとき、$\cos\theta$ と $\sin\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\tan\theta = \frac{1}{3}$ であるから、$\tan^2\theta = \frac{1}{9}$となる。

$\cos^2\theta = \frac{1}{1 + \tan^2\theta}$ の関係を用いると、

$\cos^2\theta = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より、$\cos\theta > 0$ であるから、$\cos\theta = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ より、$\sin\theta > 0$ であるから、$\sin\theta = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

$\cos\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\sin\theta = \frac{\sqrt{10}}{10}$