壺の中に赤球1個、白球2個が入っている。壺から球を1個取り出し、色を確認して元に戻す操作を3回行う。その後、壺を空にして、3回の操作で出た赤球の数だけ赤球を、白球の数だけ白球を壺に入れる操作を繰り返す。$n$回操作後に、壺の中の赤球が1個である確率を$p_n$、2個である確率を$q_n$、3個である確率を$r_n$とする。 (1) $p_{n+1}$と$q_{n+1}$を$p_n, q_n$を用いて表せ。 (2) $p_n + q_n$を求めよ。 (3) $r_n$および$\lim_{n \to \infty} r_n$を求めよ。

1. 問題の内容

壺の中に赤球1個、白球2個が入っている。壺から球を1個取り出し、色を確認して元に戻す操作を3回行う。その後、壺を空にして、3回の操作で出た赤球の数だけ赤球を、白球の数だけ白球を壺に入れる操作を繰り返す。$n$回操作後に、壺の中の赤球が1個である確率を$p_n$、2個である確率を$q_n$、3個である確率を$r_n$とする。

(1) $p_{n+1}$と$q_{n+1}$を$p_n, q_n$を用いて表せ。

(2) $p_n + q_n$を求めよ。

(3) $r_n$および$\lim_{n \to \infty} r_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$n+1$回目の操作後の壺の中身は、$n$回目の操作の結果によって決定される。

$p_{n+1}$: $n+1$回目に赤球が1個となるのは、$n$回目に赤球が1個だった場合と、$n$回目に赤球が2個だった場合に起こりうる。

- $n$回目に赤球が1個である場合（確率$p_n$）、3回の操作で赤球が1回出る必要がある。この確率は$_3C_1 (1/3)^1 (2/3)^2 = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{9}$である。

- $n$回目に赤球が2個である場合（確率$q_n$）、3回の操作で赤球が1回出る必要がある。この確率は$_3C_1 (2/3)^1 (1/3)^2 = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$である。

したがって、

$p_{n+1} = \frac{4}{9} p_n + \frac{2}{9} q_n$

$q_{n+1}$: $n+1$回目に赤球が2個となるのは、$n$回目に赤球が1個だった場合と、$n$回目に赤球が2個だった場合に起こりうる。

- $n$回目に赤球が1個である場合（確率$p_n$）、3回の操作で赤球が2回出る必要がある。この確率は$_3C_2 (1/3)^2 (2/3)^1 = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$である。

- $n$回目に赤球が2個である場合（確率$q_n$）、3回の操作で赤球が2回出る必要がある。この確率は$_3C_2 (2/3)^2 (1/3)^1 = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$である。

したがって、

$q_{n+1} = \frac{2}{9} p_n + \frac{4}{9} q_n$

(2)

$p_{n+1} + q_{n+1} = (\frac{4}{9} p_n + \frac{2}{9} q_n) + (\frac{2}{9} p_n + \frac{4}{9} q_n) = \frac{6}{9} p_n + \frac{6}{9} q_n = \frac{2}{3}(p_n + q_n)$

ここで、$p_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$、$q_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{10}{27}$より、$p_1+q_1 = \frac{22}{27}$

$p_n + q_n$は等比数列なので、$p_n + q_n = (p_1 + q_1) (\frac{2}{3})^{n-1} = \frac{22}{27} (\frac{2}{3})^{n-1} = \frac{11}{18} (\frac{2}{3})^n$

(3)

$p_n + q_n + r_n = 1$より、$r_n = 1 - (p_n + q_n) = 1 - \frac{11}{18} (\frac{2}{3})^n$

$\lim_{n \to \infty} r_n = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{11}{18} (\frac{2}{3})^n) = 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $p_{n+1} = \frac{4}{9} p_n + \frac{2}{9} q_n$, $q_{n+1} = \frac{2}{9} p_n + \frac{4}{9} q_n$

(2) $p_n + q_n = \frac{11}{18} (\frac{2}{3})^n$

(3) $r_n = 1 - \frac{11}{18} (\frac{2}{3})^n$, $\lim_{n \to \infty} r_n = 1$