与えられた変数 $x$ と $y$ のデータに基づいて、表の空欄を埋め、平均値、分散、標準偏差、相関係数を計算し、データの相関関係を評価する。

1. 問題の内容

与えられた変数 $x$ と $y$ のデータに基づいて、表の空欄を埋め、平均値、分散、標準偏差、相関係数を計算し、データの相関関係を評価する。

2. 解き方の手順

(1) 平均値の計算:

$x$ の平均 $\bar{x}$ は、$x$ の合計をデータの個数で割ることで求めます。

$\bar{x} = \frac{24 + 27 + 22 + 26 + 17 + 22}{6} = \frac{138}{6} = 23$

$y$ の平均 $\bar{y}$ は、$y$ の合計をデータの個数で割ることで求めます。

$\bar{y} = \frac{13 + 20 + 9 + 16 + 12 + 20}{6} = \frac{90}{6} = 15$

(2) 分散の計算:

$x$ の偏差: 各 $x$ の値から $\bar{x}$ を引いた値。

$x$ の偏差: $24-23=1, 27-23=4, 22-23=-1, 26-23=3, 17-23=-6, 22-23=-1$

$y$ の偏差: 各 $y$ の値から $\bar{y}$ を引いた値。

$y$ の偏差: $13-15=-2, 20-15=5, 9-15=-6, 16-15=1, 12-15=-3, 20-15=5$

($x$ の偏差)$^2$: 各 $x$ の偏差を二乗した値。

($x$ の偏差)$^2$: $1^2=1, 4^2=16, (-1)^2=1, 3^2=9, (-6)^2=36, (-1)^2=1$

($y$ の偏差)$^2$: 各 $y$ の偏差を二乗した値。

($y$ の偏差)$^2$: $(-2)^2=4, 5^2=25, (-6)^2=36, 1^2=1, (-3)^2=9, 5^2=25$

$x$ の偏差と $y$ の偏差の積: 各データポイントにおける $x$ の偏差と $y$ の偏差を掛け合わせた値。

偏差の積: $1*(-2)=-2, 4*5=20, -1*(-6)=6, 3*1=3, -6*(-3)=18, -1*5=-5$

($x$ の偏差)$^2$の合計: $1+16+1+9+36+1=64$

($y$ の偏差)$^2$の合計: $4+25+36+1+9+25=100$

偏差の積の合計: $-2+20+6+3+18-5=40$

$x$ の分散 $V_x$: $\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}$

$y$ の分散 $V_y$: $\frac{\sum (y_i - \bar{y})^2}{N} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3}$

(3) 標準偏差の計算:

$x$ の標準偏差 $\sigma_x$: $\sqrt{V_x} = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

$y$ の標準偏差 $\sigma_y$: $\sqrt{V_y} = \sqrt{\frac{50}{3}} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$

(4) 相関係数の計算:

相関係数 $r$:

$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}} = \frac{40}{\sqrt{64 * 100}} = \frac{40}{\sqrt{6400}} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} = 0.5$

(5) データの相関関係の評価:

相関係数 $r = 0.5$ は $0$ に近く、正の相関が弱いことを示しています。

3. 最終的な答え

(1) 平均値:

$x$ の平均: 23

$y$ の平均: 15

(2) 分散:

$x$ の分散: $\frac{32}{3}$

$y$ の分散: $\frac{50}{3}$

(3) 標準偏差:

$x$ の標準偏差: $\frac{4\sqrt{6}}{3}$

$y$ の標準偏差: $\frac{5\sqrt{6}}{3}$

(4) 相関係数:

$r = 0.5$

(5) データの相関関係:

① 正の相関が弱い