実数 $x, y, z$ が $x+y+z = 1$ を満たすとき、不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときの $x, y, z$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

実数 $x, y, z$ が $x+y+z = 1$ を満たすとき、不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときの $x, y, z$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

コーシー・シュワルツの不等式を利用します。

$x, y, z$ と $1, 1, 1$ に対して、コーシー・シュワルツの不等式を適用すると、

$(x^2 + y^2 + z^2)(1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (x\cdot1 + y\cdot1 + z\cdot1)^2$

$(x^2 + y^2 + z^2)(3) \geq (x + y + z)^2$

$x + y + z = 1$ であるから、

$3(x^2 + y^2 + z^2) \geq 1^2$

$3(x^2 + y^2 + z^2) \geq 1$

$x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$

よって、$x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ のとき、つまり $x = y = z$ のときです。

$x + y + z = 1$ と $x = y = z$ より、$x + x + x = 1$ なので、$3x = 1$ となり、$x = \frac{1}{3}$ です。

したがって、$x = y = z = \frac{1}{3}$ のとき、等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$x = y = z = \frac{1}{3}$ のとき。