実数 $x, y, z$ が $x + y + z = 1$ を満たすとき、不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つことを示し、また等号が成り立つときの $x, y, z$ の値を求める。ただし、コーシー・シュワルツの不等式は使用しない。

1. 問題の内容

実数 $x, y, z$ が $x + y + z = 1$ を満たすとき、不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つことを示し、また等号が成り立つときの $x, y, z$ の値を求める。ただし、コーシー・シュワルツの不等式は使用しない。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 + z^2$ の最小値を求めるために、ラグランジュの未定乗数法を用いることを考えます。しかし、ここではコーシー・シュワルツの不等式を使わない方法が求められているので、別の方法を考えます。

$x + y + z = 1$ の条件を利用して、$x^2 + y^2 + z^2$ を変形します。

$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$

$1^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$

$1 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$

$x^2 + y^2 \geq 2xy$, $y^2 + z^2 \geq 2yz$, $z^2 + x^2 \geq 2zx$ の関係を利用して、

$2(x^2 + y^2 + z^2) \geq 2(xy + yz + zx)$

$x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx$

$1 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \leq x^2 + y^2 + z^2 + 2(x^2 + y^2 + z^2) = 3(x^2 + y^2 + z^2)$

したがって、

$1 \leq 3(x^2 + y^2 + z^2)$

$x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$

等号が成り立つのは、$x = y = z$ のときです。

$x + y + z = 1$ なので、$x = y = z = \frac{1}{3}$ のとき、$x^2 + y^2 + z^2 = (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ となり、不等式が成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つ。

等号が成り立つのは $x = y = z = \frac{1}{3}$ のとき。