実数 $x$, $y$, $z$ が $x+y+z = 1$ を満たすとき、不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときの $x$, $y$, $z$ の値を求める。ただし、コーシー・シュワルツの不等式は使用しない。

1. 問題の内容

実数 $x$, $y$, $z$ が $x+y+z = 1$ を満たすとき、不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときの $x$, $y$, $z$ の値を求める。ただし、コーシー・シュワルツの不等式は使用しない。

2. 解き方の手順

$(x+y+z)^2$を展開すると、

$$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$$

$x+y+z = 1$ なので、

$$1 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)$$

ここで、$x^2 + y^2 \geq 2xy$, $y^2 + z^2 \geq 2yz$, $z^2 + x^2 \geq 2zx$ という不等式が成り立つ。

これらの不等式を足し合わせると、

$$2(x^2 + y^2 + z^2) \geq 2(xy + yz + zx)$$

$$x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx$$

これより、

$$1 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \leq x^2 + y^2 + z^2 + 2(x^2 + y^2 + z^2) = 3(x^2 + y^2 + z^2)$$

したがって、

$$x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$$

等号が成り立つのは、$x = y = z$ のときである。

$x + y + z = 1$ と $x = y = z$ より、$3x = 1$ なので、$x = y = z = \frac{1}{3}$。

3. 最終的な答え

不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{1}{3}$ が成り立つ。

等号が成り立つのは $x = y = z = \frac{1}{3}$ のとき。