$x, y, z$ が実数のとき、$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$ が成り立つことを示し、また、等号が成り立つのはどのようなときか。

1. 問題の内容

$x, y, z$ が実数のとき、$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$ が成り立つことを示し、また、等号が成り立つのはどのようなときか。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx$ を変形して、平方完成を目指します。

式全体を2倍すると、

$2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx$

$= (x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2)$

$= (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2$

したがって、

$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = \frac{1}{2} \{(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2\}$

$(x - y)^2, (y - z)^2, (z - x)^2$ はそれぞれ実数の2乗であるから、0以上である。

よって、

$\frac{1}{2} \{(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2\} \ge 0$

すなわち、

$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$

等号が成り立つのは、

$(x - y)^2 = 0$ かつ $(y - z)^2 = 0$ かつ $(z - x)^2 = 0$

つまり、$x = y$ かつ $y = z$ かつ $z = x$ のとき。

これは $x = y = z$ を意味する。

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \ge 0$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$x = y = z$ のとき。