袋の中に赤玉が3個、白玉が4個入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、2個とも同じ色である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が3個、白玉が4個入っている。この袋から同時に2個の玉を取り出すとき、2個とも同じ色である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2個の玉を取り出す全ての場合の数を求める。次に、2個とも赤玉である場合の数と、2個とも白玉である場合の数をそれぞれ求める。最後に、2個とも同じ色である確率を計算する。

(1) 2個の玉を取り出す全ての場合の数：

全部で7個の玉から2個を選ぶので、組み合わせの総数は $_7C_2$ で表される。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(2) 2個とも赤玉である場合の数：

3個の赤玉から2個を選ぶので、組み合わせの総数は $_3C_2$ で表される。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

(3) 2個とも白玉である場合の数：

4個の白玉から2個を選ぶので、組み合わせの総数は $_4C_2$ で表される。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

(4) 2個とも同じ色である確率：

2個とも赤玉であるか、または2個とも白玉である確率なので、それぞれの確率を足し合わせる。

確率は $\frac{\text{2個とも赤玉である場合の数} + \text{2個とも白玉である場合の数}}{\text{全ての場合の数}}$ で計算できる。

したがって、求める確率は $\frac{3 + 6}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{7}$