三角形ABCにおいて、$a = 10$, $b = 6\sqrt{3}$, $\angle C = 30^\circ$であるとき、$c$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 10$, $b = 6\sqrt{3}$, $\angle C = 30^\circ$であるとき、$c$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$c$を計算します。余弦定理は以下の通りです。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

与えられた値を代入すると、

$c^2 = 10^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 10 \cdot 6\sqrt{3} \cos 30^\circ$

$c^2 = 100 + 36 \cdot 3 - 120\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 100 + 108 - 60 \cdot 3$

$c^2 = 208 - 180$

$c^2 = 28$

$c = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$c = 2\sqrt{7}$