問題は2つあります。 (1) $(3x-2)^3$ を展開すること。 (2) $x^2 + 3xy - 40y^2$ を因数分解すること。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $(3x-2)^3$ を展開すること。

(2) $x^2 + 3xy - 40y^2$ を因数分解すること。

2. 解き方の手順

(1) $(3x-2)^3$ の展開

二項定理または $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ の公式を利用します。

$a = 3x$, $b = 2$ として公式に代入すると:

$(3x-2)^3 = (3x)^3 - 3(3x)^2(2) + 3(3x)(2)^2 - (2)^3$

$= 27x^3 - 3(9x^2)(2) + 3(3x)(4) - 8$

$= 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$

(2) $x^2 + 3xy - 40y^2$ の因数分解

$x$ についての二次式とみて、因数分解を試みます。 $x^2$ の係数は1なので、足して $3y$、掛けて $-40y^2$ になる2つの項を探します。

そのような2つの項は $8y$ と $-5y$ です。なぜなら、$8y + (-5y) = 3y$ であり、$8y \times (-5y) = -40y^2$ となるからです。

したがって、

$x^2 + 3xy - 40y^2 = (x+8y)(x-5y)$

3. 最終的な答え

(1) $(3x-2)^3 = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$

(2) $x^2 + 3xy - 40y^2 = (x+8y)(x-5y)$