三角形ABCにおいて、$a=8$, $c=6\sqrt{3}$, $\angle B=150^\circ$であるとき、$b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=8$, $c=6\sqrt{3}$, $\angle B=150^\circ$であるとき、$b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用して、$b$の値を求める。

余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

与えられた値を代入する。

$b^2 = 8^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6\sqrt{3} \cos 150^\circ$

$b^2 = 64 + 36 \cdot 3 - 96\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$b^2 = 64 + 108 + 96\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 172 + 48 \cdot 3$

$b^2 = 172 + 144$

$b^2 = 316$

$b = \sqrt{316}$

$b = \sqrt{4 \cdot 79}$

$b = 2\sqrt{79}$

3. 最終的な答え

$b = 2\sqrt{79}$