三角形ABCにおいて、$a = 3$, $c = 6\sqrt{2}$, $\angle B = 45^\circ$であるとき、この三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 3$, $c = 6\sqrt{2}$, $\angle B = 45^\circ$であるとき、この三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を使って、外接円の半径を求めます。

正弦定理とは、三角形ABCにおいて

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

が成り立つという定理です。

ここで$R$は外接円の半径を表します。

今回は、$a$と$c$と$\angle B$が与えられているので、まずは余弦定理を使って$b$を求めます。

余弦定理とは、三角形ABCにおいて

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

が成り立つという定理です。

$b^2 = 3^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 6\sqrt{2} \cos 45^\circ$

$b^2 = 9 + 72 - 36\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = 81 - 36 = 45$

したがって、$b = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$です。

次に、正弦定理を使って外接円の半径Rを求めます。

$\frac{b}{\sin B} = 2R$

$2R = \frac{3\sqrt{5}}{\sin 45^\circ}$

$2R = \frac{3\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$2R = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

$2R = 3\sqrt{10}$

$R = \frac{3\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

外接円の半径は $\frac{3\sqrt{10}}{2}$です。