三角形ABCにおいて、$b=3$, $c=\sqrt{3}$, $\angle A = 30^\circ$であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=3$, $c=\sqrt{3}$, $\angle A = 30^\circ$であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺$a$の長さを求めます。

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = 3^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(3)(\sqrt{3})\cos 30^\circ$

$a^2 = 9 + 3 - 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 12 - 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 - 6 \cdot \frac{3}{2} = 12 - 9 = 3$

$a = \sqrt{3}$

次に、正弦定理を用いて外接円の半径$R$を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

$\frac{\sqrt{3}}{\sin 30^\circ} = 2R$

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 2R$

$2\sqrt{3} = 2R$

$R = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

外接円の半径は$\sqrt{3}$です。