三角形ABCにおいて、$a=5, b=7, c=2\sqrt{6}$であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=5, b=7, c=2\sqrt{6}$であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて、角Cの余弦（$\cos C$）を求めます。余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$で表されます。

次に、求めた$\cos C$から$\sin C$を求めます。$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$の関係を利用します。

最後に、正弦定理を用いて、外接円の半径Rを求めます。正弦定理は、$\frac{c}{\sin C} = 2R$で表されます。

具体的には以下の通り計算します。

余弦定理より、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$(2\sqrt{6})^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos C$

$24 = 25 + 49 - 70 \cos C$

$70 \cos C = 50$

$\cos C = \frac{50}{70} = \frac{5}{7}$

$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$より、

$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - (\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49}$

$\sin C = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$ （$0 < C < \pi$なので、$\sin C > 0$）

正弦定理より、

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

$\frac{2\sqrt{6}}{\frac{2\sqrt{6}}{7}} = 2R$

$7 = 2R$

$R = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{2}$