三角形ABCにおいて、$a=10$, $b=6\sqrt{2}$, $\angle C = 135^\circ$であるとき、この三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=10$, $b=6\sqrt{2}$, $\angle C = 135^\circ$であるとき、この三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

外接円の半径を求めるために、正弦定理を利用します。しかし、まず、正弦定理を使うには、$\sin C$の値が必要です。

$C = 135^\circ$なので、

$\sin C = \sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

次に、余弦定理を用いて、$c$の値を求めます。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$c^2 = 10^2 + (6\sqrt{2})^2 - 2 \times 10 \times 6\sqrt{2} \times (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$c^2 = 100 + 72 + 120 = 292$

$c = \sqrt{292} = 2\sqrt{73}$

正弦定理より、$\frac{c}{\sin C} = 2R$ ($R$は外接円の半径)

$2R = \frac{2\sqrt{73}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{73}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{73}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{146}$

$R = \sqrt{146}$

3. 最終的な答え

外接円の半径は$\sqrt{146}$です。