三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{19} = \frac{\sin B}{14} = \frac{\sin C}{11}$ が成り立つとき、$\cos A$ の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{19} = \frac{\sin B}{14} = \frac{\sin C}{11}$ が成り立つとき、$\cos A$ の値を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立つ。

したがって、$a:b:c = 19:14:11$ となる。

$a=19k$, $b=14k$, $c=11k$ （$k$は正の定数）とおく。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{(14k)^2 + (11k)^2 - (19k)^2}{2(14k)(11k)}$

$\cos A = \frac{196k^2 + 121k^2 - 361k^2}{308k^2}$

$\cos A = \frac{-44k^2}{308k^2}$

$\cos A = -\frac{44}{308}$

$\cos A = -\frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

$\cos A = -\frac{1}{7}$