三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{17} = \frac{\sin B}{15} = \frac{\sin C}{8}$ が成り立つとき、$\cos C$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{17} = \frac{\sin B}{15} = \frac{\sin C}{8}$ が成り立つとき、$\cos C$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立ちます。

したがって、$a:b:c = 17:15:8$ となります。

$a=17k$, $b=15k$, $c=8k$ ($k>0$) と置くことができます。

余弦定理より、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

これに上記の値を代入すると、

$\cos C = \frac{(17k)^2 + (15k)^2 - (8k)^2}{2(17k)(15k)}$

$\cos C = \frac{289k^2 + 225k^2 - 64k^2}{510k^2}$

$\cos C = \frac{450k^2}{510k^2}$

$\cos C = \frac{450}{510} = \frac{45}{51} = \frac{15}{17}$

3. 最終的な答え

$\cos C = \frac{15}{17}$