三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{4} = \frac{\sin C}{3}$ が成り立つとき、$\cos C$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{4} = \frac{\sin C}{3}$ が成り立つとき、$\cos C$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、三角形ABCの外接円の半径をRとすると、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ が成り立つ。

したがって、$\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$ となる。

問題文の条件より、$\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{4} = \frac{\sin C}{3}$ であるから、

$\frac{a}{10R} = \frac{b}{8R} = \frac{c}{6R}$

したがって、$a:b:c = 10:8:6 = 5:4:3$ となる。

$a = 5k, b = 4k, c = 3k$ (kは正の定数)とおくことができる。

余弦定理より、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$\cos C = \frac{(5k)^2 + (4k)^2 - (3k)^2}{2 \times 5k \times 4k}$

$\cos C = \frac{25k^2 + 16k^2 - 9k^2}{40k^2}$

$\cos C = \frac{32k^2}{40k^2} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

$\cos C = \frac{4}{5}$