三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{11} = \frac{\sin B}{10} = \frac{\sin C}{3}$ が成り立つとき、$\cos A$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{11} = \frac{\sin B}{10} = \frac{\sin C}{3}$ が成り立つとき、$\cos A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ が成り立つ。

与えられた条件より、$\sin A : \sin B : \sin C = 11 : 10 : 3$ である。

よって、$a : b : c = 11 : 10 : 3$ となる。

比例定数を $k$ とおくと、$a = 11k$, $b = 10k$, $c = 3k$ と表せる。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{(10k)^2 + (3k)^2 - (11k)^2}{2(10k)(3k)}$

$\cos A = \frac{100k^2 + 9k^2 - 121k^2}{60k^2}$

$\cos A = \frac{-12k^2}{60k^2}$

$\cos A = -\frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$\cos A = -\frac{1}{5}$