三角形ABCにおいて、辺の長さが $a = 2\sqrt{6}$, $b = 7$, $c = 5$ であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の長さが $a = 2\sqrt{6}$, $b = 7$, $c = 5$ であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて角Aのコサインを求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$

$\cos{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7^2 + 5^2 - (2\sqrt{6})^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49 + 25 - 24}{70} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7}$

次に、$\sin{A}$を求めます。

$\sin^2{A} + \cos^2{A} = 1$ より

$\sin^2{A} = 1 - \cos^2{A} = 1 - (\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{24}{49}$

$\sin{A} = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

（$\sin{A}$は正であることに注意）

最後に、正弦定理を用いて外接円の半径Rを求めます。

$\frac{a}{\sin{A}} = 2R$

$R = \frac{a}{2\sin{A}} = \frac{2\sqrt{6}}{2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{7}} = \frac{2\sqrt{6}}{\frac{4\sqrt{6}}{7}} = \frac{2\sqrt{6} \cdot 7}{4\sqrt{6}} = \frac{14\sqrt{6}}{4\sqrt{6}} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{2}$