$a=10$, $c=6$, $\angle B = 90^\circ$である$\triangle ABC$の外接円の半径を求めよ。ここで、$a$は角$A$の対辺の長さ、$c$は角$C$の対辺の長さを表す。

1. 問題の内容

$a=10$, $c=6$, $\angle B = 90^\circ$である$\triangle ABC$の外接円の半径を求めよ。ここで、$a$は角$A$の対辺の長さ、$c$は角$C$の対辺の長さを表す。

2. 解き方の手順

$\triangle ABC$において$\angle B = 90^\circ$であるから、$\triangle ABC$は直角三角形である。直角三角形の外接円の中心は斜辺の中点にあり、外接円の半径は斜辺の長さの半分である。

まず、ピタゴラスの定理を用いて、斜辺$b$の長さを求める。ピタゴラスの定理より、

$a^2 + c^2 = b^2$

である。したがって、

$b^2 = 10^2 + 6^2 = 100 + 36 = 136$

$b = \sqrt{136} = \sqrt{4 \times 34} = 2\sqrt{34}$

外接円の半径$R$は、斜辺の長さの半分であるから、

$R = \frac{b}{2} = \frac{2\sqrt{34}}{2} = \sqrt{34}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{34}$