$a$を実数とするとき、二次方程式 $x^2 - 2(2a-1)x + 10a^2 - 13a - 5 = 0$ が実数解を持つような、$a$の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を実数とするとき、二次方程式 $x^2 - 2(2a-1)x + 10a^2 - 13a - 5 = 0$ が実数解を持つような、$a$の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

二次方程式が実数解を持つためには、判別式$D$が$D \geq 0$である必要があります。

与えられた二次方程式の判別式$D$を計算します。

$x^2 - 2(2a-1)x + 10a^2 - 13a - 5 = 0$

この二次方程式の係数は、

$A = 1$

$B = -2(2a-1)$

$C = 10a^2 - 13a - 5$

判別式 $D$ は、 $D = B^2 - 4AC$ で求められます。

$D = (-2(2a-1))^2 - 4(1)(10a^2 - 13a - 5)$

$D = 4(4a^2 - 4a + 1) - 4(10a^2 - 13a - 5)$

$D = 16a^2 - 16a + 4 - 40a^2 + 52a + 20$

$D = -24a^2 + 36a + 24$

実数解を持つためには、$D \geq 0$ でなければならないので、

$-24a^2 + 36a + 24 \geq 0$

両辺を $-12$ で割ると、不等号の向きが変わります。

$2a^2 - 3a - 2 \leq 0$

この二次不等式を解きます。

$2a^2 - 3a - 2 = 0$ を因数分解します。

$(2a + 1)(a - 2) = 0$

よって、$a = -\frac{1}{2}, 2$ が解となります。

$2a^2 - 3a - 2 \leq 0$ を満たす $a$ の範囲は、 $-\frac{1}{2} \leq a \leq 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \leq a \leq 2$