三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{12} = \frac{\sin B}{11} = \frac{\sin C}{5}$が成り立つとき、$\cos B$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{12} = \frac{\sin B}{11} = \frac{\sin C}{5}$が成り立つとき、$\cos B$の値を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ (Rは外接円の半径)が成り立つ。

問題の式から、$\sin A : \sin B : \sin C = 12 : 11 : 5$がわかる。

正弦定理より、$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$であるから、$a : b : c = 12 : 11 : 5$となる。

したがって、$a=12k, b=11k, c=5k$（kは正の定数）とおくことができる。

余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos B = \frac{(12k)^2 + (5k)^2 - (11k)^2}{2(12k)(5k)}$

$\cos B = \frac{144k^2 + 25k^2 - 121k^2}{120k^2}$

$\cos B = \frac{48k^2}{120k^2}$

$\cos B = \frac{48}{120}$

$\cos B = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\cos B = \frac{2}{5}$