三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{12} = \frac{\sin B}{11} = \frac{\sin C}{5}$ が成り立つとき、$\cos B$ の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{12} = \frac{\sin B}{11} = \frac{\sin C}{5}$ が成り立つとき、$\cos B$ の値を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理より、三角形ABCの外接円の半径をRとすると、

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{1}{2R}$

が成り立つ。

与えられた条件 $\frac{\sin A}{12} = \frac{\sin B}{11} = \frac{\sin C}{5}$ と正弦定理より、$a:b:c = 12:11:5$ であることがわかる。

したがって、$a=12k$, $b=11k$, $c=5k$ ($k>0$)とおける。

余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$a, b, c$ にそれぞれの値を代入すると、

$\cos B = \frac{(12k)^2 + (5k)^2 - (11k)^2}{2(12k)(5k)}$

$\cos B = \frac{144k^2 + 25k^2 - 121k^2}{120k^2}$

$\cos B = \frac{48k^2}{120k^2}$

$\cos B = \frac{48}{120}$

$\cos B = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\cos B = \frac{2}{5}$