三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=6$, $c=5$であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=6$, $c=5$であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

外接円の半径を求めるには、正弦定理を利用する方法と、ヘロンの公式で面積を求めてから外接円の半径を求める方法があります。ここではヘロンの公式を用いる方法で解きます。

まず、三角形の面積$S$をヘロンの公式で求めます。$s = \frac{a+b+c}{2}$ とおくと、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$で表されます。

$s = \frac{3+6+5}{2} = \frac{14}{2} = 7$

よって、

$S = \sqrt{7(7-3)(7-6)(7-5)} = \sqrt{7 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

次に、外接円の半径$R$は、正弦定理より、$R = \frac{abc}{4S}$で表されます。

したがって、

$R = \frac{3 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 2\sqrt{14}} = \frac{90}{8\sqrt{14}} = \frac{45}{4\sqrt{14}} = \frac{45\sqrt{14}}{4 \cdot 14} = \frac{45\sqrt{14}}{56}$

3. 最終的な答え

$\frac{45\sqrt{14}}{56}$