三角形ABCにおいて、$a=7$, $b=2\sqrt{6}$, $c=5$ であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=7$, $b=2\sqrt{6}$, $c=5$ であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて角Aの余弦を求めます。余弦定理は以下の通りです。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

これに値を代入すると、

$7^2 = (2\sqrt{6})^2 + 5^2 - 2(2\sqrt{6})(5)\cos A$

$49 = 24 + 25 - 20\sqrt{6}\cos A$

$0 = -20\sqrt{6}\cos A$

$\cos A = 0$

よって、$A = 90^\circ$ となります。

正弦定理を用いて外接円の半径$R$を求めます。正弦定理は以下の通りです。

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

これに値を代入すると、

$\frac{7}{\sin 90^\circ} = 2R$

$\frac{7}{1} = 2R$

$R = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{2}$