$x$ と $y$ はともに正の実数で、$xy=8$ を満たす。このとき、$(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x$ と $y$ はともに正の実数で、$xy=8$ を満たす。このとき、$(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$xy = 8$ という条件から、$y = \frac{8}{x}$ である。これを $(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2$ に代入すると、

$$(\log_2 x)^2 + \left(\log_2 \frac{8}{x}\right)^2$$

となる。ここで、対数の性質 $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$ を使うと、

$$(\log_2 x)^2 + (\log_2 8 - \log_2 x)^2 = (\log_2 x)^2 + (3 - \log_2 x)^2$$

となる。ここで、$t = \log_2 x$ とおくと、

$$t^2 + (3 - t)^2 = t^2 + 9 - 6t + t^2 = 2t^2 - 6t + 9$$

となる。これを平方完成すると、

$$2(t^2 - 3t) + 9 = 2\left(t - \frac{3}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{9}{4} + 9 = 2\left(t - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + \frac{18}{2} = 2\left(t - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{2}$$

となる。したがって、最小値は $\frac{9}{2}$ であり、そのときの $t$ の値は $t = \frac{3}{2}$ である。

$t = \log_2 x$ より、$\log_2 x = \frac{3}{2}$ であるから、$x = 2^{\frac{3}{2}} = 2^{1.5} = 2\sqrt{2}$ となる。

3. 最終的な答え

最小値は $\frac{9}{2}$ であり、そのときの $x$ の値は $2\sqrt{2}$ である。