問題は $x^3 + y^3$ と $x^5 + y^5$ を因数分解することです。

1. 問題の内容

問題は $x^3 + y^3$ と $x^5 + y^5$ を因数分解することです。

2. 解き方の手順

(4) $x^3 + y^3$ の因数分解

$x^3 + y^3$ は和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いて因数分解できます。

この公式に $a = x$、$b = y$ を代入すると、

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

(5) $x^5 + y^5$ の因数分解

$x^5 + y^5$ を因数分解するには、まず、$x+y = 0$ のとき、$x = -y$ となり、$x^5 + y^5 = (-y)^5 + y^5 = -y^5 + y^5 = 0$ であることから、$x+y$ が因数になることがわかります。

$x^5 + y^5$ を $x+y$ で割ることを考えます。

$x^5 + y^5 = (x+y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)$ となります。

実際に$(x+y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)$を展開すると

$x^5 - x^4y + x^3y^2 - x^2y^3 + xy^4 + x^4y - x^3y^2 + x^2y^3 - xy^4 + y^5 = x^5 + y^5$

となるので、上記の式は正しいです。

3. 最終的な答え

(4) $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

(5) $x^5 + y^5 = (x+y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)$