三角形ABCにおいて、$a=10$, $b=6\sqrt{3}$, $\angle C = 30^\circ$ のとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=10$, $b=6\sqrt{3}$, $\angle C = 30^\circ$ のとき、三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて辺cの長さを求める。余弦定理は以下の通りである。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

与えられた値を代入する。

$c^2 = 10^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2(10)(6\sqrt{3})\cos 30^\circ$

$c^2 = 100 + 108 - 120\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 208 - 120\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 208 - 120 \cdot \frac{3}{2} = 208 - 180 = 28$

$c = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

次に、正弦定理を用いて外接円の半径Rを求める。正弦定理は以下の通りである。

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

$R = \frac{c}{2\sin C}$

与えられた値を代入する。

$R = \frac{2\sqrt{7}}{2\sin 30^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$なので、

$R = \frac{2\sqrt{7}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{7}}{1} = 2\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{7}$