$(1.8)^n$ の整数部分が3桁以上の数となるような、最小の自然数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

1. 問題の内容

$(1.8)^n$ の整数部分が3桁以上の数となるような、最小の自然数 $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

2. 解き方の手順

まず、 $(1.8)^n$ の整数部分が3桁以上であるという条件を対数を用いて表現します。3桁の整数は100以上なので、

$$(1.8)^n \ge 100$$

両辺の常用対数をとると、

$$\log_{10}(1.8)^n \ge \log_{10} 100$$

$$n \log_{10}(1.8) \ge 2$$

ここで、 $1.8 = \frac{18}{10} = \frac{2 \cdot 3^2}{10}$ であるから、

$$\log_{10} 1.8 = \log_{10} \frac{2 \cdot 3^2}{10} = \log_{10} 2 + 2\log_{10} 3 - \log_{10} 10$$

$$= \log_{10} 2 + 2\log_{10} 3 - 1$$

与えられた値 $\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入すると、

$$\log_{10} 1.8 = 0.3010 + 2(0.4771) - 1 = 0.3010 + 0.9542 - 1 = 1.2552 - 1 = 0.2552$$

よって、

$$n (0.2552) \ge 2$$

$$n \ge \frac{2}{0.2552} = \frac{20000}{2552} = \frac{5000}{638} = \frac{2500}{319} \approx 7.837$$

$n$ は自然数なので、 $n \ge 8$ である。したがって、最小の自然数 $n$ は $8$ である。

3. 最終的な答え

$n = 8$