三角形ABCにおいて、$a = 2\sqrt{3}$, $b = 2$, $c = 2$ であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 2\sqrt{3}$, $b = 2$, $c = 2$ であるとき、三角形ABCの外接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を使って角Aを求める。余弦定理は以下の通りである。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos{A}$

与えられた値を代入する。

$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos{A}$

$12 = 4 + 4 - 8 \cos{A}$

$12 = 8 - 8 \cos{A}$

$4 = -8 \cos{A}$

$\cos{A} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$

$\cos{A} = -\frac{1}{2}$となる角Aは、$A = 120^\circ$である。

次に、正弦定理を使って外接円の半径Rを求める。正弦定理は以下の通りである。

$\frac{a}{\sin{A}} = 2R$

$a = 2\sqrt{3}$、$A = 120^\circ$なので、$\sin{A} = \sin{120^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$である。

$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R$

$4 = 2R$

$R = 2$

3. 最終的な答え

外接円の半径は2である。