(1) $(sin 15° + sin 75°)^2 + (cos 75° - cos 15°)^2$ の値を求める。 (2) $sin θ + cos θ = \frac{3}{4}$ を満たすとき、$sin θ cos θ$ と $sin^2 θ cos θ + sin θ cos^2 θ$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $(sin 15° + sin 75°)^2 + (cos 75° - cos 15°)^2$ の値を求める。

(2) $sin θ + cos θ = \frac{3}{4}$ を満たすとき、$sin θ cos θ$ と $sin^2 θ cos θ + sin θ cos^2 θ$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の性質を利用して計算する。

$sin 75° = cos (90° - 75°) = cos 15°$

$cos 75° = sin (90° - 75°) = sin 15°$

与式 = $(sin 15° + cos 15°)^2 + (sin 15° - cos 15°)^2$

= $(sin^2 15° + 2 sin 15° cos 15° + cos^2 15°) + (sin^2 15° - 2 sin 15° cos 15° + cos^2 15°)$

= $2(sin^2 15° + cos^2 15°)$

= $2 * 1 = 2$

(2)

$sin θ + cos θ = \frac{3}{4}$ の両辺を2乗する。

$(sin θ + cos θ)^2 = (\frac{3}{4})^2$

$sin^2 θ + 2 sin θ cos θ + cos^2 θ = \frac{9}{16}$

$1 + 2 sin θ cos θ = \frac{9}{16}$

$2 sin θ cos θ = \frac{9}{16} - 1 = -\frac{7}{16}$

$sin θ cos θ = -\frac{7}{32}$

$sin^2 θ cos θ + sin θ cos^2 θ = sin θ cos θ (sin θ + cos θ)$

= $(-\frac{7}{32}) (\frac{3}{4}) = -\frac{21}{128}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $sin θ cos θ = -\frac{7}{32}$

$sin^2 θ cos θ + sin θ cos^2 θ = -\frac{21}{128}$