(1) 等比数列 $\{a_n\}$ において、初めの3項の和が26、次の3項の和が702であるとき、一般項 $a_n$ を求める。ただし、公比は実数とする。 (2) 異なる2つの実数 $a, b$ に対して、$a, 2, b$ がこの順で等比数列であり、$\frac{1}{2}, \frac{1}{b}, \frac{1}{a}$ がこの順で等差数列であるとき、$a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 等比数列 $\{a_n\}$ において、初めの3項の和が26、次の3項の和が702であるとき、一般項 $a_n$ を求める。ただし、公比は実数とする。

(2) 異なる2つの実数 $a, b$ に対して、$a, 2, b$ がこの順で等比数列であり、$\frac{1}{2}, \frac{1}{b}, \frac{1}{a}$ がこの順で等差数列であるとき、$a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とする。

与えられた条件より、

$a + ar + ar^2 = 26$ ...(1)

$ar^3 + ar^4 + ar^5 = 702$ ...(2)

(2)を $r^3$ でくくると

$r^3(a + ar + ar^2) = 702$ ...(3)

(3)に(1)を代入すると

$26r^3 = 702$

$r^3 = \frac{702}{26} = 27$

$r = 3$

これを(1)に代入すると

$a + 3a + 9a = 26$

$13a = 26$

$a = 2$

したがって、一般項は $a_n = ar^{n-1} = 2 \cdot 3^{n-1}$

(2)

$a, 2, b$ が等比数列であるから、$2$ は $a$ と $b$ の幾何平均である。したがって、

$2^2 = ab$

$ab = 4$ ...(4)

$\frac{1}{2}, \frac{1}{b}, \frac{1}{a}$ が等差数列であるから、$\frac{1}{b}$ は $\frac{1}{2}$ と $\frac{1}{a}$ の算術平均である。したがって、

$\frac{2}{b} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a}$

$\frac{2}{b} = \frac{a+2}{2a}$

$4a = b(a+2)$

$4a = ab + 2b$ ...(5)

(4)より $ab=4$ なので(5)に代入すると

$4a = 4 + 2b$

$2a = 2 + b$

$b = 2a - 2$ ...(6)

(4)に(6)を代入すると

$a(2a-2) = 4$

$2a^2 - 2a = 4$

$2a^2 - 2a - 4 = 0$

$a^2 - a - 2 = 0$

$(a-2)(a+1) = 0$

$a = 2, -1$

$a=2$ のとき、(6)より $b = 2(2) - 2 = 2$

$a=-1$ のとき、(6)より $b = 2(-1) - 2 = -4$

$a$と$b$は異なるので、$a=2, b=2$ は不適。

したがって、$a = -1, b = -4$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

(2) $a = -1, b = -4$