与えられた対数計算の問題を解きます。問題は次の式を計算することです： $\frac{1}{2} \frac{1}{\log_5 3 + 3\log_5 \sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}}$

1. 問題の内容

与えられた対数計算の問題を解きます。問題は次の式を計算することです：

$\frac{1}{2} \frac{1}{\log_5 3 + 3\log_5 \sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}}$

2. 解き方の手順

まず、分母の対数の部分を計算します。

$\log_5 3 + 3\log_5 \sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}$

対数の性質 $n \log_a x = \log_a x^n$ を用いると、

$\log_5 3 + \log_5 (\sqrt{2})^3 - \log_5 \sqrt{24} = \log_5 3 + \log_5 (2\sqrt{2}) - \log_5 \sqrt{24}$

対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ と $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$ を用いると、

$\log_5 \frac{3 \cdot 2\sqrt{2}}{\sqrt{24}} = \log_5 \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{4 \cdot 6}} = \log_5 \frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \log_5 \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \log_5 \frac{3}{\sqrt{3}} = \log_5 \sqrt{3}$

したがって、元の式は次のようになります。

$\frac{1}{2} \frac{1}{\log_5 \sqrt{3}}$

ここで、$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ という底の変換公式を用いると、

$\frac{1}{2} \frac{1}{\log_5 \sqrt{3}} = \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{\log \sqrt{3}}{\log 5}} = \frac{1}{2} \frac{\log 5}{\log \sqrt{3}} = \frac{1}{2} \log_{\sqrt{3}} 5$

対数の性質 $\log_{a^n} x = \frac{1}{n} \log_a x$ を用いると、$\log_{\sqrt{3}} 5 = \log_{3^{1/2}} 5 = 2 \log_3 5$ となる。

したがって、

$\frac{1}{2} \log_{\sqrt{3}} 5 = \frac{1}{2} (2 \log_3 5) = \log_3 5$

3. 最終的な答え

$\log_3 5$