与えられた対数の式を計算し、値を求めます。式は次の通りです。 $\frac{1}{2}\log_5 3 + 3\log_5 \sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}$

1. 問題の内容

与えられた対数の式を計算し、値を求めます。式は次の通りです。

$\frac{1}{2}\log_5 3 + 3\log_5 \sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。

* $a \log_b x = \log_b x^a$

* $\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$

* $\log_b x - \log_b y = \log_b \frac{x}{y}$

与えられた式にこれらの性質を適用します。

$\frac{1}{2}\log_5 3 = \log_5 3^{\frac{1}{2}} = \log_5 \sqrt{3}$

$3\log_5 \sqrt{2} = \log_5 (\sqrt{2})^3 = \log_5 2\sqrt{2}$

したがって、式は以下のようになります。

$\log_5 \sqrt{3} + \log_5 2\sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}$

次に、対数の和と差を積と商に変換します。

$\log_5 \sqrt{3} + \log_5 2\sqrt{2} = \log_5 (\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}) = \log_5 (2\sqrt{6})$

$\log_5 (2\sqrt{6}) - \log_5 \sqrt{24} = \log_5 \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{24}}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$なので、

$\log_5 \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = \log_5 1$

$\log_5 1 = 0$

3. 最終的な答え

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