$m, n$ は自然数であるとき、$30!$ が $2^m$ で割り切れるような最大の $m$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$m, n$ は自然数であるとき、$30!$ が $2^m$ で割り切れるような最大の $m$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$30!$ が $2$ で何回割り切れるかを調べます。これは、$30!$ の中に含まれる $2$ の素因数の個数を数えることに相当します。

具体的には、以下の計算を行います。

* $30$ 以下の $2$ の倍数の個数： $\lfloor \frac{30}{2} \rfloor = 15$

* $30$ 以下の $2^2 = 4$ の倍数の個数： $\lfloor \frac{30}{4} \rfloor = 7$

* $30$ 以下の $2^3 = 8$ の倍数の個数： $\lfloor \frac{30}{8} \rfloor = 3$

* $30$ 以下の $2^4 = 16$ の倍数の個数： $\lfloor \frac{30}{16} \rfloor = 1$

* $30$ 以下の $2^5 = 32$ の倍数の個数： $\lfloor \frac{30}{32} \rfloor = 0$

ここで、$\lfloor x \rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数（床関数）を表します。

したがって、$30!$ に含まれる $2$ の素因数の個数は、これらの個数の合計になります。

$m = 15 + 7 + 3 + 1 = 26$

3. 最終的な答え

$26$