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多項式 $P(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$ が与えられたとき、$x+1$ が $P(x)$ の因数であるかどうかを調べる。

代数学多項式因数定理因数分解
2025/6/6

1. 問題の内容

多項式 P(x)=x3−x2−4x+4P(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4 が与えられたとき、x+1x+1 が P(x)P(x) の因数であるかどうかを調べる。

2. 解き方の手順

因数定理を利用する。因数定理とは、多項式 P(x)P(x) に対して、x−ax-a が P(x)P(x) の因数であるための必要十分条件は P(a)=0P(a) = 0 である、という定理である。
この問題では、x+1x+1 が因数であるかを調べたいので、x+1=x−(−1)x+1 = x - (-1) と考え、a=−1a = -1 として、P(−1)P(-1) を計算する。もし P(−1)=0P(-1) = 0 であれば、x+1x+1 は P(x)P(x) の因数であり、P(−1)≠0P(-1) \neq 0 であれば、x+1x+1 は P(x)P(x) の因数ではない。
P(x)=x3−x2−4x+4P(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4 に x=−1x = -1 を代入する。
P(−1)=(−1)3−(−1)2−4(−1)+4P(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1) + 4
P(−1)=−1−1+4+4P(-1) = -1 - 1 + 4 + 4
P(−1)=6P(-1) = 6
P(−1)=6≠0P(-1) = 6 \neq 0 であるため、x+1x+1 は P(x)P(x) の因数ではない。

3. 最終的な答え

因数でない

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