全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、要素の個数がそれぞれ $n(U) = 50$, $n(A) = 30$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 10$ であるとき、$n(\overline{A} \cup \overline{B})$ を求めよ。ここで $\overline{A}$ は $A$ の補集合を表す。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、要素の個数がそれぞれ $n(U) = 50$, $n(A) = 30$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 10$ であるとき、$n(\overline{A} \cup \overline{B})$ を求めよ。ここで $\overline{A}$ は $A$ の補集合を表す。

2. 解き方の手順

まず、ド・モルガンの法則より、

$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$

である。

したがって、求めるべきものは $n(\overline{A \cap B})$ である。

補集合の定義より、

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$

である。

問題文より、$n(U) = 50$ であり、$n(A \cap B) = 10$ であるから、

$n(\overline{A \cap B}) = 50 - 10 = 40$

となる。

3. 最終的な答え

40