全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$、集合 $B = \{2, 3, 4, 5, 8\}$ が与えられたとき、$\overline{A} \cap B$ と $A \cup \overline{B}$ を求めよ。ここで、$\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$U$ における $A$ の補集合を意味する。同様に、$\overline{B}$ は $B$ の補集合であり、$U$ における $B$ の補集合を意味する。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$、集合 $B = \{2, 3, 4, 5, 8\}$ が与えられたとき、$\overline{A} \cap B$ と $A \cup \overline{B}$ を求めよ。ここで、$\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$U$ における $A$ の補集合を意味する。同様に、$\overline{B}$ は $B$ の補集合であり、$U$ における $B$ の補集合を意味する。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の補集合 $\overline{A}$ を求める。$U$ に含まれていて $A$ に含まれない要素は $2, 3, 8, 10$ なので、

$$\overline{A} = \{2, 3, 8, 10\}$$

次に、$B$ の補集合 $\overline{B}$ を求める。$U$ に含まれていて $B$ に含まれない要素は $1, 4, 5, 6, 7, 9, 10$ なので、

$$\overline{B} = \{1, 6, 7, 9, 10\}$$

$\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} = \{2, 3, 8, 10\}$ と $B = \{2, 3, 4, 5, 8\}$ の共通要素は $2, 3, 8$ なので、

$$\overline{A} \cap B = \{2, 3, 8\}$$

$A \cup \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合である。

$A = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$ と $\overline{B} = \{1, 6, 7, 9, 10\}$ の和集合は $1, 4, 5, 6, 7, 9, 10$ なので、

$$A \cup \overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$$

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap B = \{2, 3, 8\}$

$A \cup \overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$