全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{2, 4, 5, 9, 10\}$、集合 $B = \{2, 6, 7\}$が与えられています。 このとき、$A \cap \overline{B}$ と $\overline{A} \cup B$ を求めます。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{2, 4, 5, 9, 10\}$、集合 $B = \{2, 6, 7\}$が与えられています。

このとき、$A \cap \overline{B}$ と $\overline{A} \cup B$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap \overline{B}$ を求めます。$\overline{B}$ は $B$ の補集合であり、$U$ に含まれるが $B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 8, 9, 10\}$

$A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap \overline{B} = \{2, 4, 5, 9, 10\} \cap \{1, 3, 4, 5, 8, 9, 10\} = \{4, 5, 9, 10\}$

次に、$\overline{A} \cup B$ を求めます。$\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$U$ に含まれるが $A$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = \{1, 3, 6, 7, 8\}$

$\overline{A} \cup B$ は $\overline{A}$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cup B = \{1, 3, 6, 7, 8\} \cup \{2, 6, 7\} = \{1, 2, 3, 6, 7, 8\}$

3. 最終的な答え

$A \cap \overline{B} = \{4, 5, 9, 10\}$

$\overline{A} \cup B = \{1, 2, 3, 6, 7, 8\}$