$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 5k)$ を計算します。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 5k)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 5k) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - 5 \sum_{k=1}^{n-1} k$

次に、$\sum_{k=1}^{n-1} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n-1} k$ をそれぞれ計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

これらの結果を元の式に代入します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 5k) = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - 5 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$= \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{15(n-1)n}{6}$

$= \frac{(n-1)n}{6} (2n-1 - 15)$

$= \frac{(n-1)n}{6} (2n-16)$

$= \frac{(n-1)n}{6} \cdot 2(n-8)$

$= \frac{(n-1)n(n-8)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(n-8)}{3}$