点$(x, y)$を原点中心に角度$\alpha$だけ回転させた点を$(x', y')$とし、さらに$(x', y')$を原点中心に角度$\beta$だけ回転させた点を$(x'', y'')$とする。この2回の回転を表す行列を掛け合わせることで、2回の回転が合成され、$\theta = \alpha + \beta$だけ回転する1次変換を表す行列 $\begin{bmatrix} \cos(\alpha + \beta) & -\sin(\alpha + \beta) \\ \sin(\alpha + \beta) & \cos(\alpha + \beta) \end{bmatrix}$ が得られることを示す。

1. 問題の内容

点$(x, y)$を原点中心に角度$\alpha$だけ回転させた点を$(x', y')$とし、さらに$(x', y')$を原点中心に角度$\beta$だけ回転させた点を$(x'', y'')$とする。この2回の回転を表す行列を掛け合わせることで、2回の回転が合成され、$\theta = \alpha + \beta$だけ回転する1次変換を表す行列

$\begin{bmatrix}

\cos(\alpha + \beta) & -\sin(\alpha + \beta) \\

\sin(\alpha + \beta) & \cos(\alpha + \beta)

\end{bmatrix}$

が得られることを示す。

2. 解き方の手順

まず、角度$\alpha$だけ回転させる行列$R_\alpha$と、角度$\beta$だけ回転させる行列$R_\beta$をそれぞれ定義する。

$R_\alpha = \begin{bmatrix}

\cos\alpha & -\sin\alpha \\

\sin\alpha & \cos\alpha

\end{bmatrix}$

$R_\beta = \begin{bmatrix}

\cos\beta & -\sin\beta \\

\sin\beta & \cos\beta

\end{bmatrix}$

次に、2回の回転を表す行列を求めるために、$R_\beta$と$R_\alpha$の積を計算する。

$R_\beta R_\alpha = \begin{bmatrix}

\cos\beta & -\sin\beta \\

\sin\beta & \cos\beta

\end{bmatrix} \begin{bmatrix}

\cos\alpha & -\sin\alpha \\

\sin\alpha & \cos\alpha

\end{bmatrix}$

行列の積を計算する。

$R_\beta R_\alpha = \begin{bmatrix}

\cos\beta \cos\alpha - \sin\beta \sin\alpha & -\cos\beta \sin\alpha - \sin\beta \cos\alpha \\

\sin\beta \cos\alpha + \cos\beta \sin\alpha & -\sin\beta \sin\alpha + \cos\beta \cos\alpha

\end{bmatrix}$

三角関数の加法定理を用いると、

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

であるから、

$R_\beta R_\alpha = \begin{bmatrix}

\cos(\alpha + \beta) & -\sin(\alpha + \beta) \\

\sin(\alpha + \beta) & \cos(\alpha + \beta)

\end{bmatrix}$

したがって、2回の回転を表す行列の積は、角度$\alpha + \beta$だけ回転する行列となる。

3. 最終的な答え

2回の回転を表す行列を掛け合わせると、$\begin{bmatrix}

\cos(\alpha + \beta) & -\sin(\alpha + \beta) \\

\sin(\alpha + \beta) & \cos(\alpha + \beta)

\end{bmatrix}$が得られる。これは、$\theta = \alpha + \beta$ だけ回転する1次変換を表す行列である。