二次関数 $y = -x^2 - 3x + 1$ を平方完成させ、そのグラフをかけ。

1. 問題の内容

二次関数 $y = -x^2 - 3x + 1$ を平方完成させ、そのグラフをかけ。

2. 解き方の手順

まず、$y = -x^2 - 3x + 1$ を平方完成させる。

$x^2$ の係数が $-1$ なので、$-1$ でくくると、

$y = -(x^2 + 3x) + 1$

次に、$x^2 + 3x$ を平方完成させる。

$x$ の係数は $3$ なので、$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$ を足して引くと、

$y = -(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 1$

$y = -((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 1$

$y = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + 1$

$y = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} + \frac{4}{4}$

$y = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4}$

よって、平方完成した式は $y = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4}$ である。

頂点の座標は $(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$ であり、上に凸のグラフになる。

3. 最終的な答え

平方完成させた式: $y = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{13}{4}$

グラフ: 頂点$(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$ の上に凸の放物線