$a$, $b$, $c$ を正の整数とします。直角をはさむ2辺の長さが $a$ m, $b$ m, 斜辺の長さが $c$ m である直角三角形を考えます。この直角三角形の3つの頂点および辺上に、1 mおきに人が並ぶとき、斜辺上（頂点を含む）に並ぶ人数が全体の人数の半分になるような $(a, b, c)$ の組をすべて求めなさい。

1. 問題の内容

$a$, $b$, $c$ を正の整数とします。直角をはさむ2辺の長さが $a$ m, $b$ m, 斜辺の長さが $c$ m である直角三角形を考えます。この直角三角形の3つの頂点および辺上に、1 mおきに人が並ぶとき、斜辺上（頂点を含む）に並ぶ人数が全体の人数の半分になるような $(a, b, c)$ の組をすべて求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、ピタゴラスの定理より $a^2 + b^2 = c^2$ が成り立ちます。

次に、三角形の周上に並ぶ人の数を考えます。

直角をはさむ2辺と斜辺上にそれぞれ $a+1$ 人, $b+1$ 人, $c+1$ 人が並ぶので、全体の人数は $a+b+c+3$ 人です。

斜辺上に並ぶ人数は $c+1$ 人なので、$c+1 = \frac{a+b+c+3}{2}$ が成り立ちます。

これを整理すると、$2c+2 = a+b+c+3$ となり、$c = a+b+1$ が得られます。

これをピタゴラスの定理に代入すると、

$a^2 + b^2 = (a+b-1)^2$

$a^2 + b^2 = a^2 + b^2 + 1 + 2ab - 2a - 2b$

$0 = 1 + 2ab - 2a - 2b$

$2a + 2b - 2ab = 1$

$2a + 2b - 2ab - 1 = 0$

両辺に-1/2を掛けて

$ab - a - b + 1/2 = 0$

ここで、$ab - a - b + 1 = (a-1)(b-1)$ であることを利用して、

$ab - a - b + 1 = 1/2$ と変形します。

すると、$(a-1)(b-1) = \frac{1}{2}$ となります。

ここで、$c=a+b-1$となる。$a, b, c$は正の整数なので、$a, b$は自然数なので、$a-1$と$b-1$は整数である。 $(a-1)(b-1) = \frac{1}{2}$を満たす整数$a-1, b-1$は存在しない。

しかし、c = a+b-1の代わりに、$c+1 = \frac{a+b+c+3}{2}$から$c+2 = a+b+3$より$c = a+b+1$を導くのは間違いであった。

$2c+2 = a+b+c+3$から$c = a+b+1$が得られるのは正しい。

$a^2+b^2 = c^2$に$c=a+b-1$を代入すると$a^2+b^2 = (a+b-1)^2$

$a^2 + b^2 = a^2 + b^2 + 1 + 2ab - 2a - 2b$

$2ab - 2a - 2b + 1 = 0$

$4ab - 4a - 4b + 2 = 0$

$(2a - 2)(2b - 2) - 4 + 2 = 0$

$(2a - 2)(2b - 2) = 2$

$4(a - 1)(b - 1) = 2$

$(a - 1)(b - 1) = 1/2$

これも整数解を持たない。

$c = a + b + 1$の間違いを指摘された。しかし、斜辺の長さcは、a, b が与えられた時、$c=\sqrt{a^2+b^2}$と一意に決まるため、$c=a+b+1$は一般には成り立たない。問題文が間違っている可能性もある。

$c$が整数である必要がある。 $a^2 + b^2 = c^2$をみたす整数の組を考える。

$a=3, b=4, c=5$のとき、 $a+1 = 4$, $b+1 = 5$, $c+1 = 6$. 全体の人数は $4+5+6 = 15$人。 斜辺上の人数は6人なので、条件を満たさない。

$a=5, b=12, c=13$のとき、 $a+1 = 6$, $b+1 = 13$, $c+1 = 14$. 全体の人数は $6+13+14 = 33$人。 斜辺上の人数は14人なので、条件を満たさない。 $33/2 = 16.5$

$a=8, b=15, c=17$のとき、 $a+1 = 9$, $b+1 = 16$, $c+1 = 18$. 全体の人数は $9+16+18 = 43$人。 斜辺上の人数は18人なので、条件を満たさない。 $43/2 = 21.5$

3. 最終的な答え

解なし