梨が4個、柿が2個、桃が2個あるとき、これらの果物から合計6個を取り出す方法は何通りあるか。ただし、取り出さない果物があっても良いものとします。

1. 問題の内容

梨が4個、柿が2個、桃が2個あるとき、これらの果物から合計6個を取り出す方法は何通りあるか。ただし、取り出さない果物があっても良いものとします。

2. 解き方の手順

この問題は、重複組み合わせの問題として考えることができます。梨、柿、桃をそれぞれ$x, y, z$個取り出すとすると、次の式が成り立ちます。

$x + y + z = 6$

ただし、$0 \le x \le 4$, $0 \le y \le 2$, $0 \le z \le 2$です。

まず、制約がない場合（$x, y, z \ge 0$）の組み合わせの数を求め、その後、制約を満たさない組み合わせの数を引くことで答えを求めます。

制約がない場合の組み合わせの数は、

$_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r}$

を用いると、

$_{3}H_{6} = {}_{3+6-1}C_{6} = {}_{8}C_{6} = {}_{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$通りです。

次に、制約を満たさない場合を考えます。

1. $x > 4$の場合：$x = 5$または$x = 6$の場合を考えます。

- $x = 5$のとき、$y + z = 1$なので、$(y, z) = (0, 1), (1, 0), (0, 1)$の2通り

- $x = 6$のとき、$y + z = 0$なので、$(y, z) = (0, 0)$の1通り。

2. $y > 2$の場合：$y = 3$の場合を考えます（$y$が2より大きい場合は3以上）。

- $y = 3$のとき、$x + z = 3$なので、$(x, z) = (1, 2), (2, 1), (3, 0)$の4通り

- $z$の最大値は2のため、$x + z = 3$になる組み合わせは($x, z$)= $(1, 2), (2, 1), (3, 0)$の3通りです. $y=3$の時、$x + z = 3$. $0 \le x \le 4$, $0 \le z \le 2$. $(x,z) = (1, 2), (2, 1), (3, 0)$.

$y > 2$の場合。$y=3$. $x+3+z=6$. $x+z=3$. $x$は0以上4以下、$z$は0以上2以下。したがって、$(x, z)=(1,2), (2,1), (3,0)$. 3通り

3. $z > 2$の場合：$z = 3$の場合を考えます。

- $z = 3$のとき、$x + y = 3$なので、$(x, y) = (1, 2), (2, 1), (3, 0)$の3通り。

4. $y > 2$かつ$z > 2$は同時に起こりえない($y+z <= 6$を満たせないため)。

よって、制約を満たさない組み合わせの数は、$3 + 3 + 3 = 7$通りです。

したがって、求める組み合わせの数は、$28 - 1 - 3 - 3= 21$通りです。

2. $x \ge 5$: $x' = x - 5$とおくと、$x' + y + z = 1$を満たす非負整数$x', y, z$の組の数は${}_{3}H_{1} = {}_{3}C_{1} = 3$通り。

3. $y \ge 3$: $y' = y - 3$とおくと、$x + y' + z = 3$を満たす非負整数$x, y', z$の組の数は${}_{3}H_{3} = {}_{5}C_{3} = {}_{5}C_{2} = 10$通り。

4. $z \ge 3$: $z' = z - 3$とおくと、$x + y + z' = 3$を満たす非負整数$x, y, z'$の組の数は${}_{3}H_{3} = {}_{5}C_{3} = {}_{5}C_{2} = 10$通り。

制約を考慮すると、次のようになります。

$x + y + z = 6$

$0 \le x \le 4, 0 \le y \le 2, 0 \le z \le 2$

すべての組み合わせ - (x > 4) - (y > 2) - (z > 2)

= $28 - 3 - (10-...) - (10-...)$

$x=5$ or 6

$y=3$ or 4 or 5 or 6

$z=3$ or 4 or 5 or 6

$y,z$を3以上にする数を減らす。

$y \ge 3$を考えます。すると，$x+z=3$となります。$x$は4以下、$z$は2以下ですから，$x+z=3$は可能です。($x,z$)=(1,2), (2,1), (3,0)

$z \ge 3$を考えます。すると，$x+y=3$となります。$x$は4以下、$y$は2以下ですから，$x+y=3$は可能です。($x,y$)=(1,2), (2,1), (3,0)

$28 - 1 - 3 - 3 = 19$

3. 最終的な答え

19通り