整数 $n$ について、$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ も 3 の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ も 3 の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明する。

(1) $n$ が 3 の倍数でないと仮定する。

このとき、$n$ は $3k+1$ または $3k+2$ （$k$ は整数）のいずれかの形で表せる。

(2) $n=3k+1$ のとき、

$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ となる。

これは3で割ると1余る数なので、3の倍数ではない。

(3) $n=3k+2$ のとき、

$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ となる。

これも3で割ると1余る数なので、3の倍数ではない。

(4) よって、$n$ が 3 の倍数でないならば、$n^2$ も 3 の倍数ではない。これは、$n^2$ が 3 の倍数であるという仮定に矛盾する。

(5) したがって、$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ も 3 の倍数である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ も 3 の倍数である。（証明終わり）